جواب فعالیت صفحه 52 ریاضی هشتم

این تمرین به ترجمه بین زبان کلامی و زبان جبری در مبحث توان می‌پردازد. - **عبارت کلامی:** «هر عدد به توان یک، برابر خود عدد می‌شود.» - **عبارت جبری:** $ a^۱ = a $ - **عبارت جبری:** $ a^۰ = ۱ \quad (a \neq ۰) $ - **عبارت کلامی:** «هر عدد غیرصفر به توان صفر، برابر یک می‌شود.» - **عبارت کلامی:** «صفر به توان هر عدد مثبت، برابر صفر می‌شود.» - **عبارت جبری:** $ ۰^n = ۰ \quad (n>۰) $ - **عبارت جبری:** $ b^n \times c^n = (bc)^n $ - **عبارت کلامی:** «در ضرب دو عبارت توان‌دار با **توان‌های مساوی**، پایه‌ها را در هم ضرب کرده و یکی از توان‌ها را برای حاصل می‌نویسیم.» (توجه: عبارت کلامی نوشته شده در صورت سوال مربوط به قانون ضرب با پایه‌های مساوی یعنی $ a^m \times a^n = a^{m+n} $ است.) - **عبارت کلامی:** «مربع یا مجذور عدد a» - **عبارت جبری:** $ a^۲ $

**الف) الگوی اول با عبارت $۲n-۱$ و اعداد طبیعی ($n=۱, ۲, ۳, ...$):** - برای $n=۱$: $ ۲(۱) - ۱ = ۱ $ - برای $n=۲$: $ ۲(۲) - ۱ = ۳ $ - برای $n=۳$: $ ۲(۳) - ۱ = ۵ $ - **الگوی عددی:** $ ۱, ۳, ۵, ۷, ... $ (مجموعه اعداد فرد طبیعی) **ب) الگوی دوم با عبارت $۲m+۱$ و اعداد حسابی ($m=۰, ۱, ۲, ...$):** - برای $m=۰$: $ ۲(۰) + ۱ = ۱ $ - برای $m=۱$: $ ۲(۱) + ۱ = ۳ $ - برای $m=۲$: $ ۲(۲) + ۱ = ۵ $ - **الگوی عددی:** $ ۱, ۳, ۵, ۷, ... $ (مجموعه اعداد فرد طبیعی) **آیا دو الگو با هم تفاوت دارند؟** **خیر**، دو الگوی عددی به دست آمده هیچ تفاوتی با هم ندارند. هر دو عبارت جبری، با دامنه‌های ورودی متفاوت (اعداد طبیعی در مقابل اعداد حسابی)، **دقیقاً یک دنباله عددی یکسان** را تولید می‌کنند که همان مجموعه اعداد فرد طبیعی است.

این سوال روش‌های مختلف نگاه کردن به یک الگو و تبدیل آن به یک عبارت جبری را بررسی می‌کند. تعداد چوب کبریت‌ها در شکل $n$ام از رابطه $۳n+۱$ به دست می‌آید. **توضیح روش‌های دانش‌آموزان:** - **ماهرخ ($۳n+۱$):** این عبارت، شکل ساده شده نهایی الگو است. منطق او می‌تواند این باشد که هر مربع جدید ۳ چوب کبریت اضافه می‌کند (بخش $۳n$) و عدد $۱$ برای تنظیم جمله اول اضافه می‌شود (چون $۳ \times ۱ = ۳$ است اما شکل اول ۴ چوب کبریت دارد). - **مهنوش ($۴+(n-۱)\times۳$):** این یک روش بسیار گویا است. او شکل اول را که **۴** چوب کبریت دارد، به عنوان پایه در نظر گرفته است. سپس برای ساختن $n-۱$ مربع بعدی، برای هر کدام **۳** چوب کبریت اضافه کرده است. - **مهتاب ($n+n+(n+۱)$):** او چوب کبریت‌ها را بر اساس جهتشان شمارش کرده است: **$n$** چوب کبریت در ردیف بالا، **$n$** چوب کبریت در ردیف پایین، و **$n+۱$** چوب کبریت عمودی. - **ماهرخ ($۱+n+n+n$):** به نظر می‌رسد این عبارت نادرست است و با الگو تطابق ندارد. ممکن است منظور $۱+۳n$ بوده باشد. **ساده‌سازی عبارت‌ها:** - **مهنوش:** $ ۴ + (n-۱) \times ۳ = ۴ + ۳n - ۳ = ۳n+۱ $ - **مهتاب:** $ n + n + (n+۱) = ۲n + n + ۱ = ۳n+۱ $ **مقایسه:** بله، پس از ساده‌سازی، عبارت‌های صحیح **مهنوش** و **مهتاب** با عبارت **ماهرخ** ($۳n+۱$) یکی می‌شوند. **یک روش دیگر برای شمارش:** می‌توانیم $n$ مربع جداگانه را تصور کنیم که در مجموع $۴n$ چوب کبریت دارند. وقتی این مربع‌ها را به هم می‌چسبانیم، $n-۱$ چوب کبریت داخلی بین آنها مشترک می‌شود و باید از شمارش حذف شود. پس: $ \text{تعداد کل} = ۴n - (n-۱) = ۴n - n + ۱ = ۳n+۱ $